自相似集的截集与滑动

本项目计划深入研究自相似集的结构，包括自相似集的截集的复杂性，以及自相似集在滑动过程中是否保持某种Lipschitz等价性等问题。在几何测度论中刻画一个集合的几何结构，往往通过考察它的截集，也就是该集合与超平面的交。经典的Marstrand定理研究了欧氏空间中s维正则紧集与几乎所有超平面所截得的截集的维数；而本项目将充分利用自相似这个几何特征，研究自相似集的截集，并期得到更精细的Marstrand定理的自相似版本，为此将充分利用多型Moran结构、投影、上自相似集的测度遍历性等。另一方面，从我们刚刚解决的{1,3,5}-{1,4,5}问题出发，进一步探索自相似集在滑动过程中的Lipschitz等价及稍弱的BPI等价性。滑动过程将出现轻微的或更复杂的重叠(overlap)，为此将综合利用有向图集结构和测度映射的鞅技巧。本项目的完成将有助于进一步理解自相似集的几何结构。