量子上同调和Chen-Ruan上同调的研究

The project will study quantum cohomology and mirror symmetry from the viewpoint of spontaneous symmetry breaking theory,quantum field theory,equivariant cohomology theory . Firstly, we will introduce three new types of equivariant cohomology and invariants ; Secondly, we will investigate the basic properties of these equivariant cohomologies and invariants and the relationships between these new equivariant cohomologies and the Chen-Ruan cohomology , quantum cohomology of theirs quotient space or reduced space; Thirdly, we will investigate the quantum cohomology and mirror symmetry of Calabi-Yau manifolds combining the results we will obtained in this project and the viewpoints of SUSY. . The subjects of this project are hot issues and the cutting edges of sympletic geometry.The project will provide novel insights , unique perspectives and be innovative in theory, methods and techniques. Having been making full preparation, the applicant have obtained the remarkable breakthrough and achievements in view of the understanding of SSB and QFT. The project will not only prompt the development of sympletic geometry and equivariant cohomology theory, but also offer the profound insights into mirror symmetry , quantum cohomology and boost deep integration of mathematics and physics.

研究映射模空间的表示与结构有助于对模空间的相交理论更深入的理解,也有助于深化对量子场论、量子上同调、镜像对称的认识。.本项目拟结合自发对称性破缺、量子场论、等变上同调研究量子上同调和镜像对称,通过分析映射模空间的结构与表示,拓展Kontsevich模空间理论框架,引入三种新的等变上同调和不变量,给出自发对称性破缺的数学解释；系统研究这三种新的等变上同调和不变量的性质,理解它们与相应的商/约化空间上的Chen-Ruan上同调、量子上同调的关系;结合前述结果和超对称,开展CY流形的量子上同调环和镜像对称的研究。 .申请人从新的观点和视角出发,在理论、方法和技巧上与前人不同,已在前期工作中取得实质性的突破和进展。.项目希望在丰富和发展等变上同调、量子上同调、模空间理论的同时,推进对自发对称性破缺理论的数学理解,进而帮助人们进一步理解镜像对称,推动辛几何、量子场论及自发对称性破缺间的交叉与发展。

辛几何是微分几何中一个重要分支，它既与一些数学分支紧密地联系着，又与量子场论、理论物理学等许多学科有交叉，因此其研究一直受到相关学科的研究者的广泛关注。. 在2000年左右，陈维民教授和阮勇斌院士定义并研究了orbifold 上的Gromov-Witten理论和Chen-Ruan上同调环，由此开启了orbifold 的上同调环的研究。 . 对称性是人们试图理解自然和创造秩序的美好理念与信仰，在本项目中，我们采用对称性观点和量子上同调手法，研究了原空间的等变上同调及其结构和商空间的上同调及其结构的关系,项目研究的主要内容：. (1) 对带群作用的近复流形的等变上同调开展了深入研究。我们从量子上同调的角度研究了这类近复流形的上同调及其代数结构，.(i) 定义了新的Chen-Ruan版本的等变上同调环(成果[2]中称为等变弦上同调环)，证明了：.当群作用为半自由作用时，等变弦上同调环典则地同构于其商空间的Chen-Ruan上同调环 ；.(ii) 证明了等变弦上同调环不仅是一点等变上同调环上的模，而且是该环上pre-Frobenius的模。相关内容见成果[1],[2]。. (2) 围绕一类特殊的G-凯勒流形的弦上同调群展开了富有成效的探索。我们研究了SL-G-凯勒流形的弦上同调和素弦上同调，在这两类上同调上分别构造了(两种)Hodge结构,并证明了它们的Hodge结构的群不变部分与其商空间的Chen-Ruan上同调群上的Hodge结构之间的存在着典则的对应。相关内容见成果[3]。. 本项目在理论和方法上都有所创新，主要在于: .(1)丰富了等变上同调理论，提供了理解与计算orbifold的Chen-Ruan 上同调环的新方法和新视角。 .(2)拓展了等变上同调理论与Hodge结构之间的联系。..相信项目成果对进一步深化关于复、辛流形的等变上同调、复、辛orbifold的上同调研究有重要的价值和意义。希望在拓展人们对于复、辛流形的等变上同调认识的同时，丰富和发展复、辛流形的几何与拓扑理论。